Atividades Exemplificadas

Por Gilsimar Domingues das Paz

Tema:Produtos Notáveis

 

 

EXEMPLO 1

Desenvolver (a + b)(c + d).

Vamos dar uma sugestão para que você tente fazer essa conta sozinho antes de ver a resposta: represente a + b com uma nova letra e use a propriedade que acabamos de ver.

Representaremos a soma a + b pela letra m.

(a + b)(c + d) = m (c + d)
  \_/
   m

m = mc + md

Agora, substituímos a letra m pela soma a + b:

(a + b)(c + d) = mc + md
= (a + b)c + (a + b)d
= ac + bc + ad + bd

Agora, substituímos a letra m pela soma a + b:

(a + b)(c + d) = mc + md
= (a + b)c + (a + b)d
= ac + bc + ad + bd

Concluímos, então, que:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Observe a figura a seguir para visualizar o que foi demonstrado. O lado esquerdo de nossa igualdade representa a área de um retângulo cujas medidas são a + b e c + d.

Repare que este retângulo é a soma de quatro retângulos menores cujas áreas são as quatro parcelas que aparecem no lado direito da igualdade.

 

O quadrado de uma soma e de uma diferença

O exemplo que acabamos de ver é a base para a demonstração de uma das mais úteis identidades da matemática:

(a + b)² = a² + 2ab + b²
     (fórmula 1)

Essa fórmula quer dizer que o quadrado de uma soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Veja a demonstração.

(a + b)² = (a + b)(a + b)
= aa + ab + ba + bb
= a² + ab + ba + b²
= a² + 2ab + b²

A interpretação desse resultado utilizando as áreas dos retângulos poder ser vista na figura a seguir.

A outra identidade, irmã da que acabamos de ver é a seguinte :
(a - b)² = a² - 2ab + b²
     (fórmula 2)

Ela nos diz que o quadrado de uma diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

Uma das formas de demonstrar esse resultado é escrever a - b como

a + (-b) e aplicar o quadrado da soma. 

Veja:

(a-b)² = (a + -(b))² =
= a² + 2a(- b) + (- b)²
= a² - 2ab + b²

EXEMPLO 2

Calcule 29².
Ora, se temos uma máquina de calcular, não tem graça. Se não, é claro que sabemos calcular 29 · 29 com lápis e papel. Faça a conta. Vamos dar o resultado de maneira bem rápida e simples. Escrevemos 29 como 30 - 1 e usamos a fórmula 2. Veja:

29² = (30-1)²
= 30² - 2 · 30 · 1 + 1²
= 900 - 60 + 1
= 841

A diferença de quadrados 

A terceira identidade que vamos aprender é a seguinte:

a² - b² = (a + b)(a - b)
      (fórmula 3 )

Ela nos diz que a diferença entre os quadrados de dois números é igual ao produto da soma pela diferença desses números. Para demonstrar isso, basta desenvolver o lado direito da igualdade. Veja:

(a + b)(a - b) = aa + ab - ba - bb
= a² - b²

Esta identidade nos será útil em diversos momentos do nosso curso. Por ora,
veja como ela pode simplificar certos cálculos.

EXEMPLO 3

Em um loteamento, cada quadra de terreno é um quadrado com 61 metros de lado. O autor do projeto resolveu então aumentar a largura da calçada e, com isso, cada quadra passou a ser um quadrado de 59 metros de lado. Que área os
terrenos perderam?

Pense um pouco antes de ver a solução.

Uma forma simples de responder a esta questão é calcular a área antiga, a área nova e depois subtrair. Inicialmente a área da quadra era 61².

Depois a área da quadra passou a ser 59². Então a área perdida foi
61² - 59²

É claro que sabemos fazer estas contas. Mas, veja como fica simples o cálculo se utilizamos a fórmula 3.
61² - 59² = (61 + 59)(61 - 59) = 120 · 2 = 240

Os terrenos perderam, então, 240 metros quadrados.

 

Plano de aula

Assunto: Produtos notáveis

Tempo: Aproximadamente 18 aulas.

Justificativa: No dia a dia das aulas de matemática, fazemos uso de operações algébricas. O aluno deve saber interagir com essas situações. Tendo domínio das mesmas.

Objetivo: Facilitar cálculos que envolvam operações com polinômios e monômios. 

Estratégias:

1)    Duas semanas antes do início deste conteúdo, fazer leituras diárias de trechos do livro: “O código polinômio”, da Editora Ática.

2)   Passar um breve histórico sobre produtos notáveis (em anexo), em seguida um vídeo tirado do novo telecurso. (Vídeos: http://www.youtube.com/watch?v=uoBfLkkwCIY).

3)   Revisar os principais pontos do conteúdo, estabelecendo definições, solucionando situações-problema envolvendo este tipo de situação.

4)    Organização da Classe em grupos de 6 a 8 alunos e trabalhar com material em EVA, “Kit Polinômios”- MMP Materiais Pedagógicos.

Recursos: Texto retirado do site: http://www.infoescola.com/matematica/produtos-notaveis, Giz, lousa, livro “O código polinômio”, da Editora Ática, Jogo: “Kit Polinômios”- MMP Materiais Pedagógicos.

Recuperação: No dia a dia o professor irá identificar quais alunos ainda não atingiram os objetivos propostos, e vai solicitar ao professor auxiliar ajuda com os mesmos se possível.

Avaliação: Acompanhamento diário do Professor, e a apresentação de seminário onde cada grupo apresentará um dos produtos notáveis estudados.

 

 

Texto retirado do site: http://www.infoescola.com/matematica/produtos-notaveis/

Produtos notáveis

Os conceitos sobre os produtos notáveis merecem muita atenção, pois seu uso facilita cálculos, reduz o tempo de resolução e agiliza o aprendizado. O conhecimento dessa ferramenta não implica dizer que não necessitamos saber o desenvolvimento do cálculo proposto, apenas que temos mais caminhos convergentes à solução final. Utilizamos o termo notável para apontar sua importância, sua notabilidade e sua carência de atenção.

Os gregos, na antiguidade, faziam uso de procedimentos algébricos e geométricos exatamente iguais aos produtos notáveis modernos. É importante destacar que o uso de sua maioria foi atribuído aos pitagóricos e estão registrados na obra de Euclides de Alexandria Elementos na forma de representações geométricas.

Ao lidarmos com operações algébricas, perceberemos que alguns polinômios aparecem frequentemente e, ainda, exibem certa regularidade. Esses são os produtos notáveis. Aqui estudaremos o quadrado da soma de dois termos, o quadrado da diferença de dois termos, o produto da soma pela diferença de dois temos, o cubo da soma de dois termos e, por fim, o cubo da diferença de dois termos. Vamos à explanação de cada um deles.

1. O quadrado da soma de dois termos

Verifiquem a representação e utilização da propriedade da potenciação em seu desenvolvimento.

(a + b)² = (a + b). (a + b)

Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.

Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos



2. O quadrado da diferença de dois termos

Seguindo o critério do item anterior, temos:

(a – b)² = (a – b). (a – b)

Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.

Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:



3. O produto da soma pela diferença de dois termos

Se tivermos o produto da soma pela diferença de dois termos, poderemos transformá-lo numa diferença de quadrados.

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

Exemplos

• (4c + 3d).(4c – 3d) = (4c)² – (3d)² = 16c² – 9d²
• (x/2 + y).(x/2 – y) = (x/2)² – y² = x²/4 – y²
• (m + n).(m – n) = m² – n²

4. O cubo da soma de dois termos

Consideremos o caso a seguir:

(a + b)³ = (a + b).(a + b)² → potência de mesma base.

(a + b).(a² + 2ab + b²) → (a + b)²

Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo.

Exemplos:

• (2x + 2y)³ = (2x)³ + 3.(2x)².(2y) + 3.(2x).(2y)² + (2y)³ = 8x³ + 24x²y + 24xy² + 8y³
• (w + 3z)³ = w³ + 3.(w²).(3z) + 3.w.(3z)² + (3z)³ = w³ + 9w²z + 27wz² + 27z³
• (m + n)³ = m³ + 3m²n + 3mn² + n³

5. O cubo da diferença de dois termos

Acompanhem o caso seguinte:

(a – b)³ = (a – b).(a – b)² → potência de mesma base.

(a – b).(a² – 2ab + b²) → (a – b)²

Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo.

Exemplos

• (2 – y)³ = 2³ – 3.(2²).y + 3.2.y² – y³ = 8 – 12y + 6y² – y³ ou y³– 6y² + 12y – 8
• (2w – z)³ = (2w)³ – 3.(2w)².z + 3.(2w).z² – z³ = 8w³ – 12w²z + 6wz² – z³
• (c – d)³ = c³ – 3c²d + 3cd² – d³

Considerações finais

Utilizando os produtos notáveis, certamente aceleraremos o cálculo, permitindo o progresso em temas posteriores da matemática. A propriedade distributiva da multiplicação foi determinante para se chegar ao desenvolvimento dos produtos levando-os a sua fase reduzida. Jamais deveremos deixar de buscar conhecimentos mais profundos, como demonstrações de teoremas a fim de compreendermos melhor os caminhos trilhados para se chegar às pequenas fórmulas, tão úteis, como as conhecemos hoje.

“A notabilidade cognitiva do indivíduo é o reflexo de uma boa educação”

Robson Sá.

Referências bibliográficas

SOUZA, JOAMIR ROBERTO DE; PATARO, PATRÍCIA ROSANA MORENO. Vontade de Saber Matemática, 8º ano. São Paulo: FTD, 2009. 288p. – (Coleção Vontade de Saber).

GIOVANNI JÚNIOR, JOSÉ RUY; CASTRUCCI, BENEDICTO. A Conquista da Matemática, 8º ano. São Paulo: FTD, 2009. 384p. – (Coleção a Conquista da Matemática).

 

 

Depoimento de Gilsimar Domingues da Paz    

Foi Durante a faculdade que comecei a sanar muitas dificuldades em matemática. Pois era só pensar em números já entrava em desespero. Quando comecei a lecionar em uma escola estadual do ensino fundamental me lembro de que foi ai que percebi que através da leitura poderia sanar as tais dificuldades. Contanto que a leitura faria com que meus alunos compreendessem a matemática, pois matemática e leitura se tornou um conjunto e um era dependente do outro. Então eu usava o cotidiano dos alunos colocando em pauta como eles agiriam em tal situação problemática e fazia com que eles achassem o resultado de cada tarefa através das experiências deles. Até me lembro de que em certa época montei uma espécie de mercadinho no fundo da sala onde os alunos resolviam os problemas como se tivessem vivendo a tal experiência de ir ao mercado com um tanto de dinheiro, quanto sobraria, quanto item daria, contando que cada aluno recebia uma quantia. Fui então me encontrando e os alunos passaram a aceitar que a importância da leitura é sem igual para a resolução entendimento e compreensão da matemática. Hoje em dia sou um professor que antes de ensinar algo aos alunos leio muito sobre o assunto para poder despertar o interesse dos mesmos e tirar todas as duvidas possíveis pra que não tenham a mesma dificuldade que tive durante os meus estudos. Um projeto adotado pela escola que leciono e acho muito importante e vou compartilhar com todos é que a cada dia da semana é trabalhado independente da matéria um gênero textual trazendo a leitura pra dentro da sala de aula seja qual for à disciplina e foi percebido que os alunos acabaram por pegar gosto pela leitura, tanto que até alguns trazem textos para nos perguntar que o gênero de texto! Essa experiência está sendo muito importante pra mim, pois a leitura está auxiliando até mesmo na escrita de meus alunos.

Depoimento

          O blog matemática criação de Deus. Foi criado a princípio com o intuito de abrir um espaço para falar das experiências vividas com a leitura e escrita. Quando percebi, estava a falar da minha experiência com Deus. Então, aproveitei este espaço para que fãs da matemática que assim como eu, acreditam que nada aconteceu por acaso, mas que foi criado e construído da maneira mais perfeita possam expor suas ideias e dar depoimentos, para que outros possam usar esta ferramenta, tendo ciência de quão valiosa ela é.

          Meu primeiro contato com a escrita e leitura, foi logo cedo, um pouco traumático posso dizer. Quando tinha por volta de 4 anos de idade, minha irmã que ingressava na escola primária, minha companheira, amiga de brincadeira, partia para iniciar seu primeiro contato com a escola. Eu, que me senti abandonada quiz estar lá e vivenciar as mesmas experiências, fui matriculada na pré escola, apenas como acompanhante, pois não tinha idade para estar lá naquele momento.  Enfim, no começo tudo era uma brincadeira, queria estar lá por ela, e digo que pouco aprendi. Quando em idade de ser alfabetizada apresentei grandes dificuldades, mas mesmo assim ingressei nas séries iniciais. Logo na 1ªsérie, passei por uma situação que me marcou, fui trocada de classe, não só eu, mas alguns alunos que a professora rotulou como "atrasados". Este foi o marco. Não queria mais ir a escola, esta situação me marcou por 3 anos, quando conheci a bela professora Maria da Cruz, lembro-me dela como se fosse hoje, era uma pessoa calma, usava um óculos que chamava muito atenção. Não me lembro de um grito sequer que tenha dado em sala de aula, mas lembro-me como ressuscitou em mim, a vontade de estudar, de aprender. A cada dia, fui marcada por novas realizações, conheci outros professores, que posso chamar de mestres, que afloraram em mim talentos que foram desenvolvidos durante toda minha vida. Colecionei apartir de então, muitos elogios e palavras amorosas. Cresci na minha vida acadêmica. Me tornei uma boa aluna, estava sempre entre os melhores da classe.

          Hoje sei a importância que o professor tem na vida de seu aluno. Podemos marcá-los de forma positiva ou não. A professora Maria da Cruz, foi minha salvação, gostei tanto de saber ler e escrever, que em certa época de minha vida, colecionava folhetos da missa. Me apaixonei pelas histórias que li na Bíblia.   Fui moldada apartir de então, por cada leitura, cada parábola. E daí não parei mais.

Veja como Deus é perfeito!

 

 

          Sou amante dos números, jovem professora de matemática que se apaixonou por dar aulas de Física, só para saborear tudo aquilo que poderia ser provado através desta bela ferramenta que é a matemática.

 

          Estou criando esta página com o intuito de compartilhar junto com alguns colegas as experiências vividas no decorrer de minha vida colegial, acadêmica e também profissional.

Tenho como expectativa, que você leitor goste do que verá e também venha a colaborar, com idéias e experiência que tenha vivido neste sentido.

          Gostaria de começar, com uma de minhas paixões:

 A criação de Deus.

 

          Peguei uma pequena imagem, que muito me agradou. Algo que para muitos é simples e muitas vezes sem importância. Uma belíssima flor. Repare que ela é cheia de detalhes, que para um bom observador matemático, é de tirar o fôlego.

 

 

 

 

 

 

     Ao olhar para esta flor, contemplo como Deus é grandioso.

Grande matemático, o maior que já existiu. Construiu belas coisas e nos presenteou, com a dádiva de poder admirar o seu feito.

 

     Você que assim como eu, é amante da matemática, consegue olhar para esta flor e não viajar na sua forma. Em todas as suas medidas perfeitas, nesta simetria, podemos dizer até harmonia.

Veja como Deus é perfeito!

 

Aqui está apenas um pouquinho do que vem por aí, como diz o povo brasileiro:

"Aguarde e confie! Melhor, acompanhe e verá!"