Plano de aula

Assunto: Produtos notáveis

Tempo: Aproximadamente 18 aulas.

Justificativa: No dia a dia das aulas de matemática, fazemos uso de operações algébricas. O aluno deve saber interagir com essas situações. Tendo domínio das mesmas.

Objetivo: Facilitar cálculos que envolvam operações com polinômios e monômios. 

Estratégias:

1)    Duas semanas antes do início deste conteúdo, fazer leituras diárias de trechos do livro: “O código polinômio”, da Editora Ática.

2)   Passar um breve histórico sobre produtos notáveis (em anexo), em seguida um vídeo tirado do novo telecurso. (Vídeos: http://www.youtube.com/watch?v=uoBfLkkwCIY).

3)   Revisar os principais pontos do conteúdo, estabelecendo definições, solucionando situações-problema envolvendo este tipo de situação.

4)    Organização da Classe em grupos de 6 a 8 alunos e trabalhar com material em EVA, “Kit Polinômios”- MMP Materiais Pedagógicos.

Recursos: Texto retirado do site: http://www.infoescola.com/matematica/produtos-notaveis, Giz, lousa, livro “O código polinômio”, da Editora Ática, Jogo: “Kit Polinômios”- MMP Materiais Pedagógicos.

Recuperação: No dia a dia o professor irá identificar quais alunos ainda não atingiram os objetivos propostos, e vai solicitar ao professor auxiliar ajuda com os mesmos se possível.

Avaliação: Acompanhamento diário do Professor, e a apresentação de seminário onde cada grupo apresentará um dos produtos notáveis estudados.

 

 

Texto retirado do site: http://www.infoescola.com/matematica/produtos-notaveis/

Produtos notáveis

Os conceitos sobre os produtos notáveis merecem muita atenção, pois seu uso facilita cálculos, reduz o tempo de resolução e agiliza o aprendizado. O conhecimento dessa ferramenta não implica dizer que não necessitamos saber o desenvolvimento do cálculo proposto, apenas que temos mais caminhos convergentes à solução final. Utilizamos o termo notável para apontar sua importância, sua notabilidade e sua carência de atenção.

Os gregos, na antiguidade, faziam uso de procedimentos algébricos e geométricos exatamente iguais aos produtos notáveis modernos. É importante destacar que o uso de sua maioria foi atribuído aos pitagóricos e estão registrados na obra de Euclides de Alexandria Elementos na forma de representações geométricas.

Ao lidarmos com operações algébricas, perceberemos que alguns polinômios aparecem frequentemente e, ainda, exibem certa regularidade. Esses são os produtos notáveis. Aqui estudaremos o quadrado da soma de dois termos, o quadrado da diferença de dois termos, o produto da soma pela diferença de dois temos, o cubo da soma de dois termos e, por fim, o cubo da diferença de dois termos. Vamos à explanação de cada um deles.

1. O quadrado da soma de dois termos

Verifiquem a representação e utilização da propriedade da potenciação em seu desenvolvimento.

(a + b)² = (a + b). (a + b)

Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.

Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos



2. O quadrado da diferença de dois termos

Seguindo o critério do item anterior, temos:

(a – b)² = (a – b). (a – b)

Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.

Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:



3. O produto da soma pela diferença de dois termos

Se tivermos o produto da soma pela diferença de dois termos, poderemos transformá-lo numa diferença de quadrados.

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

Exemplos

• (4c + 3d).(4c – 3d) = (4c)² – (3d)² = 16c² – 9d²
• (x/2 + y).(x/2 – y) = (x/2)² – y² = x²/4 – y²
• (m + n).(m – n) = m² – n²

4. O cubo da soma de dois termos

Consideremos o caso a seguir:

(a + b)³ = (a + b).(a + b)² → potência de mesma base.

(a + b).(a² + 2ab + b²) → (a + b)²

Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo.

Exemplos:

• (2x + 2y)³ = (2x)³ + 3.(2x)².(2y) + 3.(2x).(2y)² + (2y)³ = 8x³ + 24x²y + 24xy² + 8y³
• (w + 3z)³ = w³ + 3.(w²).(3z) + 3.w.(3z)² + (3z)³ = w³ + 9w²z + 27wz² + 27z³
• (m + n)³ = m³ + 3m²n + 3mn² + n³

5. O cubo da diferença de dois termos

Acompanhem o caso seguinte:

(a – b)³ = (a – b).(a – b)² → potência de mesma base.

(a – b).(a² – 2ab + b²) → (a – b)²

Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo.

Exemplos

• (2 – y)³ = 2³ – 3.(2²).y + 3.2.y² – y³ = 8 – 12y + 6y² – y³ ou y³– 6y² + 12y – 8
• (2w – z)³ = (2w)³ – 3.(2w)².z + 3.(2w).z² – z³ = 8w³ – 12w²z + 6wz² – z³
• (c – d)³ = c³ – 3c²d + 3cd² – d³

Considerações finais

Utilizando os produtos notáveis, certamente aceleraremos o cálculo, permitindo o progresso em temas posteriores da matemática. A propriedade distributiva da multiplicação foi determinante para se chegar ao desenvolvimento dos produtos levando-os a sua fase reduzida. Jamais deveremos deixar de buscar conhecimentos mais profundos, como demonstrações de teoremas a fim de compreendermos melhor os caminhos trilhados para se chegar às pequenas fórmulas, tão úteis, como as conhecemos hoje.

“A notabilidade cognitiva do indivíduo é o reflexo de uma boa educação”

Robson Sá.

Referências bibliográficas

SOUZA, JOAMIR ROBERTO DE; PATARO, PATRÍCIA ROSANA MORENO. Vontade de Saber Matemática, 8º ano. São Paulo: FTD, 2009. 288p. – (Coleção Vontade de Saber).

GIOVANNI JÚNIOR, JOSÉ RUY; CASTRUCCI, BENEDICTO. A Conquista da Matemática, 8º ano. São Paulo: FTD, 2009. 384p. – (Coleção a Conquista da Matemática).