Atividades Exemplificadas

Por Gilsimar Domingues das Paz

Tema:Produtos Notáveis

 

 

EXEMPLO 1

Desenvolver (a + b)(c + d).

Vamos dar uma sugestão para que você tente fazer essa conta sozinho antes de ver a resposta: represente a + b com uma nova letra e use a propriedade que acabamos de ver.

Representaremos a soma a + b pela letra m.

(a + b)(c + d) = m (c + d)
  \_/
   m

m = mc + md

Agora, substituímos a letra m pela soma a + b:

(a + b)(c + d) = mc + md
= (a + b)c + (a + b)d
= ac + bc + ad + bd

Agora, substituímos a letra m pela soma a + b:

(a + b)(c + d) = mc + md
= (a + b)c + (a + b)d
= ac + bc + ad + bd

Concluímos, então, que:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Observe a figura a seguir para visualizar o que foi demonstrado. O lado esquerdo de nossa igualdade representa a área de um retângulo cujas medidas são a + b e c + d.

Repare que este retângulo é a soma de quatro retângulos menores cujas áreas são as quatro parcelas que aparecem no lado direito da igualdade.

 

O quadrado de uma soma e de uma diferença

O exemplo que acabamos de ver é a base para a demonstração de uma das mais úteis identidades da matemática:

(a + b)² = a² + 2ab + b²
     (fórmula 1)

Essa fórmula quer dizer que o quadrado de uma soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Veja a demonstração.

(a + b)² = (a + b)(a + b)
= aa + ab + ba + bb
= a² + ab + ba + b²
= a² + 2ab + b²

A interpretação desse resultado utilizando as áreas dos retângulos poder ser vista na figura a seguir.

A outra identidade, irmã da que acabamos de ver é a seguinte :
(a - b)² = a² - 2ab + b²
     (fórmula 2)

Ela nos diz que o quadrado de uma diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

Uma das formas de demonstrar esse resultado é escrever a - b como

a + (-b) e aplicar o quadrado da soma. 

Veja:

(a-b)² = (a + -(b))² =
= a² + 2a(- b) + (- b)²
= a² - 2ab + b²

EXEMPLO 2

Calcule 29².
Ora, se temos uma máquina de calcular, não tem graça. Se não, é claro que sabemos calcular 29 · 29 com lápis e papel. Faça a conta. Vamos dar o resultado de maneira bem rápida e simples. Escrevemos 29 como 30 - 1 e usamos a fórmula 2. Veja:

29² = (30-1)²
= 30² - 2 · 30 · 1 + 1²
= 900 - 60 + 1
= 841

A diferença de quadrados 

A terceira identidade que vamos aprender é a seguinte:

a² - b² = (a + b)(a - b)
      (fórmula 3 )

Ela nos diz que a diferença entre os quadrados de dois números é igual ao produto da soma pela diferença desses números. Para demonstrar isso, basta desenvolver o lado direito da igualdade. Veja:

(a + b)(a - b) = aa + ab - ba - bb
= a² - b²

Esta identidade nos será útil em diversos momentos do nosso curso. Por ora,
veja como ela pode simplificar certos cálculos.

EXEMPLO 3

Em um loteamento, cada quadra de terreno é um quadrado com 61 metros de lado. O autor do projeto resolveu então aumentar a largura da calçada e, com isso, cada quadra passou a ser um quadrado de 59 metros de lado. Que área os
terrenos perderam?

Pense um pouco antes de ver a solução.

Uma forma simples de responder a esta questão é calcular a área antiga, a área nova e depois subtrair. Inicialmente a área da quadra era 61².

Depois a área da quadra passou a ser 59². Então a área perdida foi
61² - 59²

É claro que sabemos fazer estas contas. Mas, veja como fica simples o cálculo se utilizamos a fórmula 3.
61² - 59² = (61 + 59)(61 - 59) = 120 · 2 = 240

Os terrenos perderam, então, 240 metros quadrados.